Tre slags paradoxer

En svart korp

Vilka slutsatser kan man dra från denna observation?

Jag fortsätter att läsa William Poundstones The Labyrinths of Reason:


Deduktion och Induktion

Det finns två sätt genom vilket vi vet saker (eller tror att vi vet saker). Det finns det deduktiva sättet då vi drar slutsatser från givna fakta.

Tex:

Alla människor är dödliga
Sokrates är en människa
Därför är Sokrates dödlig

Giltiga slutledningar är förnuftssanningar, enligt David Humes terminologi

Det andra grundläggande sättet att veta är genom induktion. Induktion är den välkända process genom vilken vi gör generaliseringar. Både vetenskap och sunda förnuftet bygger på induktion. Induktion extrapolerar data från observationer som inte behöver förstås på ett djupare plan. Du vet inte varför alla korpar som setts är svarta

Även om vi observerar 100 000 svarta korpar så skulle den hundratusenförsta kunna vara vit. En vit korp är inte i sig självt absurd som en triangel med fyra sidor. Det finns ingen logisk nödvändighet i en induktiv slutledning.

Av denna anledning har induktion alltid betraktats som mindre giltig än deduktion. Hume, bland andra, var skeptisk till det. Han klagade över att ett induktivt resonemang användes för att legitimera induktion: ”Induktion har visat sig vara effektivt förrut, så därför borde det vara effektivt även i framtiden”

Induktion är som att arbeta baklänges, som att lösa en labyrint genom att gå baklänges från målet. Istället för att utgå från en generell lag som t.ex. (”Alla korpar är svarta”) och tillämpa den i sina specifika fall (”Denna fågel är en korp, därför är den svart”), så går induktion från specifika fall till en generell lag.

Från det faktum att varje korp som hittills undersökts har varit svart så drar vi slutsatsen att alla korpar är svarta, även de vi inte har sett. Vi tar för givet att de icke observerade korparna är lika de som vi har observerat, att den regelbundenhet som tycks utmärka världen är äkta.

Varför ägnar vi oss åt induktion? Vi gör det för att det är det enda sättet att erhålla brett tillämpliga fakta om världen. Utan den skulle vi bara ha våra trillioner upplevelser eller observationer, var och en lika separerad och meningslös som konfetti.

Konfirmationsteori (”Confirmation theory”)

Allmän  kunskapsteori = epistemologi = Studiet av hur vi vet vad vi vet.

Epistemologi tillämpad i strikt vetenskapliga situationer = Konfirmationsteori

Konfirmationsteori är till stor del studiet av logiska gåtor och paradoxer.

Paradoxer blottar, genom själva sin uppbyggnad, sprickorna i våra trosföreställningar

Betrand Russel sa:

En logisk teori kan testas genom sin förmåga att klara av gåtor. En smart strategi när man håller på med logik är att proppa hjärnan full med så många logiska gåtor som möjligt eftersom dessa fyller ungefär samma funktion som experiment i fysisk vetenskap.

Paradoxer – motsägelser

En paradox börjar med en uppsättning rimliga premisser. Från dessa premisser härleder vi en slutsats som undergräver premisserna.

Paradoxer kan klassificeras lite löst i enlighet med var själva motsägelsen uppstår.

Den svagaste typen av paradox är felslutet (”the fallacy”). Det är en motsägelse som uppstår genom ett ganska trivialt men välkamoflerat misstag i resonemanget.

Ta t.ex. det algebraiska beviset att två är lika med ett.

Säg att x är lika med ett. Givetvis gäller det då att x är lika med x. Vi kvadrerar bägge sidor så att vi får att x2 = x2. Sen subtraherar vi x2 från bägge sidor så att vi får:  x2–x2 = x2–x2. Sen faktoriserar vi bägge sidor fast på olika sätt: x(x–x) = (x+x) (x–x). Sen delar vi bägge sidor med (x–x). Då får vi x = (x+x) vilket är detsamma som x = 2x. Detta innebär att 1 = 2

I ett felslut är paradoxen bara skenbar. Så fort du upptäcker felet, så är allt okej med världen igen. Det kanske kan tyckas att alla paradoxer i grunden beter sig på detta sätt. Felet kanske inte är så uppenbart som i exemplet ovan, men det finns där. Bara du hittar det så upplöses paradoxen.

Om detta vore allt som en paradox kunde vara så skulle konfirmationsteori och epistemologi vara mycket enklare och mindre intressanta områden. Vi kommer inte att bry oss om dessa enkla felslut. Många andra paradoxer är däremot giltiga och störande.

Notera Gallileis paradox

Paradoxen in tvilling-paradoxen ligger i att vi missuppfattat hur världen fungerar snarare än logiken i situationen. Den outtalade premissen i tvillingparadoxen är att tid är universell. Tvillingparadoxen visar att denna premiss är ohållbar: sunda förnuftet är fel.

Det finns ännu starkare paradoxer. Varken felslutet eller ”sunda förnuftet har fel”-varianten har den gäckande kvaliteten hos de bästa paradoxerna. De mest paradoxala paradoxerna är olösbara.

Ett väldigt enkelt exempel på en äkta paradox är den s.k. lögnarparadoxen skapad av Eubulides. Kretensaren Epimenides påstås ha sagt: ”Alla kretensare ljuger” (”…alltid”)

Med denna tredje typ av paradox är det inte halt klart vilken premiss som ska eller kan tas bort.

Vetenskap som karta

Denna bok behandlar kunskapsparadoxer – paradoxer som belyser hur vi vet saker.

Att känna till hövding Crazy Horse eller frost eller Tasmanien innebär att ha en del av sin hjärna som representerar Crazy Horse eller frost eller Tasmanien.

Själva det faktum att universum är så mycket större än ditt huvud gör total kunskap ouppnåelig. Det finns inga möjligheter för den mänskilga hjärnan att innehålla representationer av allting i hela världen.

Att våra hjärnor funkar så bra som de gör indikerar att de är selektiva i det som de lagrar. Det huvudsakliga verktyget för att komprimera all världens komplexitet är generalisering. Våra hjärnor genomför der på flera nivåer. Vetenskap är en medeveten och kollektiv metod att förenkla genom att generalisera. Det är ett sätt att packa in hela det vida universum i våra pyttesmå hjärnor.

Vetenskap är en minnes-instrument. Snarare än att komma ihåg vad som hände varje äpple som lossnat från sin upphängning så kommer vi ihåg gravitation. Det är en karta över världen. Precis som alla kartor hoppar den över smådetaljer.

Vad är förståelse?

Överranskande nog kan denna filosofiska fråga ges en ganska exakt, om än preliminär, betydelse.

Paradox och SATISFIERBARHET

Förståelse innebär, åtminstone förmågan att kunna upptäcka inre motsägelser, paradoxer. Om du inte ens kan avgöra huruvida en viss uppsätting påståenden är självmotsägande eller inte så har du egentligen inte förstått dessa påståenden. Du har inte tänkt igenom dem.

Att kunna upptäcka motsägselser är inte allt som förståelse innebär. Det är sannolikt mycket mer än så. Men det är åtminstone en förutsätting.

Inom logiken så kallas det abstrakta problemet att kunna upptäcka motsägelser för SATISFIERBARHETSPROBLEMET.

Givet en uppsättining påståenden frågar sig SATISFIERBARHETSPROBLEMET: ”Motsäger dessa påståenden nödvändigtvis varandra?” eller ett annat sätt att uttrycka det: ”Finns det någon möjlig värld i vilken alla dessa premisser kan vara sanna?”

1. Alla kor är lila

2. Kungen av Spaninen är en ko.

3. Kungen av Spanien är grön.

Notera att inget enskilt påstående kan skyllas för att ha orsakat paradoxen. Man skulle kunna stryka valfri premiss och få ett logiskt möjligt scenario. Paradoxen ligger i sättet som de olika påståendena relaterar till varandra. Detta faktum visar sig vara oerhört betydelsefullt. Eftersom paradoxen inte kan lokaliseras till ett enskilt ställe är SATISFIERBARHETSPROBLEMET väldigt svårt i allmänhet.

Ju fler premisser, desto svårare är det att kontrollera att inte eventuella motsägelser har smugit sig in. Denna ökning i svårighetsgrad är så markant att många SATISFIERBARHETS-PROBLEM med något hundratal eller fler premisser praktiskt taget är olösbara.

SATISFIERBARHETSPROBLEMETS svårighet är en grov uppskatting av hur svårt det är att komprimera empirisk information med generaliseringar. SATISFIERBARHETSPROBLEMET sätter, grovt räknat, en gräns för svårigheten att tillägna sig information och att dra slutsatser från den.

Det universella problemet

I det tidiga 1970-talet upplevde man en överraskande upptäckt inom matematisk logik. Två akademiska uppsatser av datalogi-forskarna Stephen Cook (1971) och Richard Carp (1972) visade att många typer av abstrakta logiska problem i själva verket är ett och samma problem i förklädnad. Alla är de ekvivalenta med SATISFIERBARHETSPROBLEMET, problemet med att upptäcka motsägelser.

Problemet med att finna vägen genom en labyrint, att knäcka en kod, att konstruera korsord, handelsresandeproblemet, satisfierbarhetsproblmet…

Att sådana vitt spridda problem essentiellt var ett och detsamma var helt oväntat. Det är inte särskilt långsökt att jämföra Cook och Karps upptäckt med upptäckten att allting är gjort av atomer. Mycket av de intellektuella svårigheterna i världen, såväl djupsinniga som lättsamma, är gjorda av samma stoff.

När logiker säger att alla NP-fullständiga problem i själva verket är ett och samma, så menar de att en effektiv allmän lösning till vilket som helst av alla NP-fullständiga problem skulle kunna transformeras på ett sånt sätt att den löser alla andra problem. Om någon någonsin löste ett NP-fullständigt problem så skulle alla NP-fullständiga problem smälta bort som sockervadd i sommarregn.

Paradoxen, motsägelsen är sålunda en mycket djupare och mer universellt företeelse än antikens människor kunnat drömma om. Snarare än en udda kuriositet är det ett grundläggande koncept inom vetenskapsfilosofin.

(Observera att denna bloggpost i stort sett bara är min översätting av valda delar Poundstone’s text. Om någon händelsevis skulle finna något tankeväckande eller ”bra beskrivet” i detta inlägg så bör all förtjänst gå till William Poundstone.)

Annonser

One thought on “Tre slags paradoxer

  1. Angående induktion, vi kan aldrig någonsin vara säker på vår fakta. Däremot tycker jag att vi, genom generaliseringar, kommer vi närmare ett allmänt och ”generellt” svar som gäller i så många situationer som möjligt. Generaliseringar begränsar urvalet. Att alla korpar är svarta är en generalisering. Visst kan vi inte bevisa att det inte finns några vita korpar. Däremot ger induktionen ett allmänt svar som v använder oss av för att kunna beskriva vidare saker.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s