Hilberts oändliga hotell

Är mängden positiva rationella tal

där tal ingår som exempelvis

lika stor som mängden heltal?

Eller annorlunda uttryckt:  Skulle alla positiva rationella tal kunna få var sitt rum på Hilberts hotell?

Svaret är ja.

För att förklara hur det är möjligt kan vi utgå från ett liknande problem.

Hur kan ett hotell med ett oändligt antal rum varje dag ta emot en ny buss med ett oändligt antal gäster?

Den enklaste principen som hotellet kan utnyttja är att varje dag endast fylla vartannat av de rum som fortafarande står tomma.

Om vi t.ex. utgår från att hotellet från början är tomt så ger vi busspassagerarna dag ett vartannat rum. D.v.s. rum 1,3,5,7,9,11,13 o.s.v De jämna rummen står fortfarande tomma.

De oändligt många busspassagerarna dag två ger vi vartannat av de kvarvarande jämna rummen: D.v.s rum 2,6,10,14,18,22,26,30 o.s.v

De oändligt många busspassagerarna dag tre ger vi vartannat av de kvarvarande rummen: D.v.s. rum 4,12,20,28,36,44 o.s.v

Och så kan vi fortsätta hur länge som helst.

Vi kan formulera en enkel formel för vilket rum en given busspassagerar får.

Om vi betecknar numret på busspassageraren med a och numret på ankomstdagen med b så kan vi tilldela alla ett rumsnummer, r,  med hjälp av formeln:

För att formeln ska bli snyggare så börjar vi räkna från noll istället för ett. Den första passageraren som kliver av bussen betecknar vi passagerare noll (a = 0). Den första dagen betecknar vi dag noll (b = 0).

Vi ser då t.ex. att den första passageraren, den första dagen får rum nummer 1.

Eller att passagerare nummer nittiotre på dag nummer sjutton får rumsnummer…

…tjugofyra miljoner femhundratio tusen fyrahundrasextiofyra.

Varje passagerare, varje dag, tilldelas alltså ett unikt rumsnummer som är ledigt och som ingen annan kommer göra anspråk på.

En trevlig egenskap i detta system är att hotellpersonalen inte behöver skriva upp passagerarnummer och ankomstdag i nåt register. Endast utifrån numret på hotellrummet så kan de lista ut detta.

Tag hotellrum 24 510 464 ovan t.ex. När anlände gästen och vilket passagerarnummer hade hon? Det enda hotellpersonalen behöver göra är att se hur många gånger som rumsnumret är delbart med två. Svaret är sjutton gånger. (17 är alltså ankomstdagen) När man delat rumsnumret med 2 sjutton gånger så har vi fått 187 vilket är udda och inte längre delbart. 187 motsvarar 2a+1 i vår formel. Om vi sålunda drar av 1 och delar med 2 så får vi passagerarnumret:

Tillbaka nu till problemet med om varje rationellt tal kan få ett eget rum på Hilberts hotell.

Alla rationella tal kan skrivas på formen  a/b

och vi kan tänka oss att det varje dag kommer en oändlig busslast passagerare som representerar en unik ny nämnare.

Första dan kommer den oändliga busslasten med bråktal där nämnaren är 1:

Andra dan kommer den oändliga busslasten med bråktal där nämnaren är 2:

och så vidare.

Man noterar här snabbt att det rationella talet 1 som kliver av bussen allra först dag ett även kliver av bussen som nummer 2 dag två. Talet 1 kommer därmed att bo i mer än ett rum. Detta har emellertid ingen betydelse för tankeexperimentet. Det enda vi ville kontrollera var om alla rationella tal fick egna rum på Hilberts hotell. Att tal kan få mer än ett rum är inget som försvagar argumentet.

Dessa busslaster med rationella tal skulle kunna inhysas i rum enligt samma formel som vi undersökte tidigare. Vi inför följande lilla modifikation:

Vi betecknar varje tänkbart positivt rationellt tal som bråket:

där a och b betecknar godtyckliga heltal  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …

För ett godtyckligt rationellt tal t.ex. 17/5 = 3,4  gäller alltså att a=16 och b=4

Då kan vi använda samma formel för rumsnumret r:

Det rationella talet  17/5  får rummet

Ett alternativt system för att ta emot oändliga busslatser gäster på Hilberts hotell varje dag och som gör rumsnumret lite lättare att tolka är följande:

Princip för inhysning: Utnyttja varje dag alla kvarvarande lediga rum utom vart tionde.

Första dagen flyttar alltså gästerna in i rummen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 … 11,12,13,14,15,16,17,18,19 … 21,22 o.s.v.

Det innebär i så fall första dagen att alla rum utom rum 10,20,30,40 o.s.v. utnyttjas.

Andra dagen används återigen samma princip: alla kvarvarande lediga rum utom vart tionde utnyttjas. Gästerna flyttar in i rummen 10,20,30,40,50,60,70,80,90 … 110,120,130,140 o.s.v

Rummen som lämnas lediga efter dag två är då 100,200,300,400,500 o.s.v.

Och så här fortsätter det, dag efter dag. Fördelen med den här principen är att hotellpersonalen enkelt kan läsa av antalet nollor på dörren till rummen för att veta ankomstdag.

Formeln som ger oss rumsnumret r utifrån passagerarnummret a och dagnumret b blir dock lite mer komplicerad.

Denna princip funkar naturligtvis också för att hysa alla positiva rationella tal

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s