Gud kan räkna upp de oändligt många rationella talen på en sekund

Gud kan räkna upp de oändligt många rationella talen på en sekund

…men han kan aldrig räkna upp de reella talen. Det har Georg Cantor bevisat.

Jag visade i förra posten ett sätt att klämma in de oändligt många rationella talen i var sitt rum på David Hilberts hotell.

Men hur kan Gud räkna upp de oändligt många rationella talen under en ändlig tidsperiod?

Man tycker att det borde vara omöjligt men Gud är väldigt fiffig. Så här kan han gå till väga för att räkna upp alla oändligt många tal på en enda sekund:

Han ägnar den första halvsekunden åt att räkna upp det första rationella talet.

Han ägnar nästa fjärdedels sekund åt att räkna upp det andra talet

Han ägnar nästa åttondels sekund att räkna upp det tredje talet.

Han ägnar nästa sextondels sekund att räkna upp det fjärde talet, o.s.v.

Gud räknar alltså snabbare och snabbare. Han använder hela tiden hälften så lång tid till att räkna upp nästa tal i jämförelse med den tid han använde till det föregående.

Tidsåtgången kan skisseras på följande sätt:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+ …

Denna summa av allt kortare tidsperioder kommer närma sig en sekund allt mer i all oändlighet men kan omöjligen överskrida den gränsen. Detta innebär att, när en sekund har gått så finns det inget rationellt tal som inte Gud har räknat upp. Alla tal är uppräknade.

*

Än ännu större utmaning i uppräkningsbarhet än de rationella talen är mängden av alla ändliga listor med positiva heltal.

Vad beträffar de rationella talen så betraktade vi dem i princip som mängden av alla listor med två heltal – täljare och nämnare.

Mängden av alla ändliga listor med positiva heltal innehåller bland annat:

1) Det oändliga antalet listor med bara ett positivt heltal. Te.x listan med talet sexhundratolv: (612)
2) Det oändliga antalet listor med 2 positiva heltal.T.ex. listan (16245, 3429849)
3) Det oändliga antalet listor med 3 positiva heltal. T.ex. listan (1, 2, 187287387)
4) Det oändliga antalet listor med 4 positiva heltal. T.ex. listan (182, 4459, 1, 29898)

1 000 000 000) Det oändliga antalet listor med en miljard positiva heltal…
o.s.v…

Kan alla medlemmar i denna mängd verkligen få ett rum i Hilberts Hotell?

Enklaste sättet att ge dessa heltalslistor unika rum är helt enkelt att koda dem i någon talbas mindre än 10 och sedan låta t.ex. siffran 9 beteckna avdelningen mellan två heltal i listan.

Låt oss testa och se hur några olika tal skulle kunna kodas med basen nio:

Följer man denna princip skulle alltså rummet med nummer: 278539532876975198138 innehålla heltalslistan (18921, 317103, 613, 5948)

På detta sätt skulle varje tänkbar (icke oändlig) lista med heltal få sitt eget rum på Hilberts hotell.

Värt att notera är dock att inte alla rum kommer att behöva användas. Det gäller t.ex. de rum vars rumsnummer innehåller flera nior bredvid varandra. Dessa rumsnummer har ingen bestämd tolkning och kan sägas vara odefinierade.

*

Men hur är det med de reella talen? Kan Gud räkna upp även dessa? Här måste Gud tyvärr kasta in handduken. Georg Cantor bevisade att en sån bedrift är omöjlig.

Mängden av alla reella tal skulle kunna liknas vid mängden av alla oändliga listor av siffror, (d.v.s. siffrorna 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Varje reellt tal skulle kunna betraktas som en oändlig decimalutveckling – en oändlig följd av siffror.

Konstanterna Pi och e t.ex. är ju ett reella tal med oändliga rader av decimaler.

Men, kanske man kan invända, inte alla reella tal har ju oändliga rader med decimaler. Jovisst är det så, men syftet i just detta fall är att påvisa de reella talens ”o-uppräkningsbarhet” och då räcker det om vi tar i, så att säga i underkant. Det är lätt att konstatera att de reella talen, bland annat, har oändliga antal tal, med oändliga decimalutvecklingar. Sen, att det dessutom existerar reella tal som inte har oändliga decimalutvecklingar, det kommer inte att utgöra ett problem för vårt bevis.

Georg Cantors argument, det så kallade diagonalargumentet, påvisade att ingen oändlig uppräkning av reella tal skulle kunna vara komplett eftersom man, enligt ”diagonalmetoden”, alltid kan definiera att tal som inte finns med i listan. I en oändlig uppräkning av reella tal saknas alltid det tal…

…vars första siffra skiljer sig från den första siffran i den oändliga uppräkningens första siffra och
vars andra siffra skiljer sig från den den andra siffran i den oändliga uppräkningens andra siffra och
vars tredje siffra skiljer sig från den den tredje siffran i den oändliga uppräkningens tredje siffra…
o.s.v

Det saknade talet skiljer sig alltså per definition från varje tal i den oändliga uppräkningen. Skulle man lägga till det saknade talet till listan så skulle man alltid kunna konstruera ett nytt tal som skiljer sig från varje tal i den kompletterade listan.

För mig känns ändå Cantors diagonalbevis lite onödigt. Är det inte ganska uppenbart att man inte kan ”lagra” alla pi:s decimaler i ett rumsnummer med ett ändligt antal siffor. Vi har ju tidigare sett att varje ändlig mängd information kan kodas så att den kan lagras i rumsnumret på Hotellet. Hotellet har visserligen ett oändligt antal rum vilket innebär att det inte finns någon gräns för hur många siffror rumsnumren kan ha, men det betyder inte att det existerar något specifikt rumsnummer vars antal siffror saknar gräns. Pi kan alltså inte lagras i något specifikt rum. De reella talen är ouppräkningsbara. Gud går bet. Även om Gud är grym på att räkna oändligt snabbt.

Not: Originalbilden på Gud, Adam och Eva är ett träsnitt av Julius Schnorr von Carolsfeld från omkring 1860. Den heter ”Der sechste Schöpfungstag” (”Den sjätte skapelsedagen”)

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s